Forenzika izbora u realnom vremenu: Shewhart i CUSUM kontrolne karte

Reading Time: 2 minutes

Industrijski alati za statističku kontrolu procesa primenjeni na izborni integritet

Uvod

U industrijskom inženjeringu i menadžmentu kvaliteta, Shewhartove i CUSUM kontrolne karte koriste se za nadzor proizvodnih procesa: da bi se utvrdilo da li proizvodnja ostaje u granicama normalnog ponašanja ili je došlo do odstupanja. Ove metode se sada sve češće primenjuju i u forenzici izbora, naročito u detekciji nelinearnih i kumulativnih anomalija u vremenskim serijama, poput izlaznosti tokom dana, rezultata po opštinama, procenta nevažećih listića, itd.

Ove karte pomažu da se, uz minimalne pretpostavke, detektuju trenuci i trendovi koji izlaze iz okvira statističkog očekivanja, i to čak i kada pojedinačna odstupanja nisu sama po sebi dovoljna za alarm.

Intuitivno objašnjenje

Zamislite da posmatrate izlaznost tokom dana i da svaka promena iz sata u sat izgleda u granicama očekivanja, ništa ne prelazi prag. Ali zatim primetite da svaka sledeća promena ide u istom pravcu, npr. stalni mali skokovi. Posle nekoliko takvih uzastopnih odstupanja, ukupna promena postaje prevelika da bi bila slučajna.

Shewhart karte označavaju tačke koje naglo odstupaju, dok CUSUM karte (eng. CUmulative SUM) hvataju akumulaciju malih odstupanja koja postaju značajna tek u zbiru.

Teorijska osnova

1. Shewhart karta

Shewhart karta se koristi za praćenje promenljive\(x_t\) kroz vreme, sa kontrolnim granicama definisanim kao:

\(\text{Gornja kontrolna granica (UCL)} = \mu + k\sigma \\\) \(\text{Donja kontrolna granica (LCL)} = \mu – k\sigma\)

\(\mu\): očekivana vrednost
\(\sigma\): standardna devijacija
\(k\): broj standardnih devijacija (obično 3)

Ako \(x_t\) pređe UCL ili padne ispod LCL to je alarm da je verovatno došlo do manipulacije rezultatima.

2. CUSUM karta

CUSUM prati kumulativnu sumu odstupanja od ciljne vrednosti:

\(C_t = \sum_{i=1}^t (x_i – \mu)\)

Korišćenjem pozitivnog i negativnog akumulatora, možemo detektovati kada se sistematski pomeramo u jednom pravcu (npr. stalni porast izlaznosti).

Tipovi manipulacija koje detektuju

Ove metode su posebno korisne za:

Stalno ubrzavanje ili usporavanje izlaznosti (npr. u drugom delu dana)
Sistematsko povećanje rezultata za jednog kandidata
Serije malih manipulacija koje ne bi bile detektovane pojedinačno
Detekciju promene režima (npr. kada uđe “naređenje odozgo”)

Primena u Excel-u i R-u

📊 U Excel-u:

Shewhart karta:

Izračunajte srednju vrednost i standardnu devijaciju izlaznosti po satu.
Postavite kontrolne granice na \(\pm 3 \sigma\).
Prikažite vrednosti i granice na linijskom grafikonu.

CUSUM karta:

Za svaku tačku izračunajte \(x_i – \mu\).
Suma svih prethodnih odstupanja daje CUSUM.
Pratite trend akumulacije, ako CUSUM prelazi granicu, aktivira se alarm.

📈 U R-u:

## Shewhart kontrolna karta
set.seed(404)
n <- 50
df <- data.frame(
  id = 1:n,
  vrednost = c(rnorm(40, mean = 0, sd = 1), rnorm(10, mean = 3, sd = 1))  # umetnuta promena
)

# Shewhart karta (3σ granice)
sredina <- mean(df$vrednost[1:40])
sd_v <- sd(df$vrednost[1:40])

ggplot(df, aes(x = id, y = vrednost)) +
  geom_line(color = "darkgray") +
  geom_point(aes(color = vrednost > sredina + 3 * sd_v | vrednost < sredina - 3 * sd_v)) +
  scale_color_manual(values = c("black", "red"), labels = c("U granicama", "Izvan kontrole")) +
  geom_hline(yintercept = sredina, linetype = "solid") +
  geom_hline(yintercept = sredina + 3 * sd_v, linetype = "dashed", color = "red") +
  geom_hline(yintercept = sredina - 3 * sd_v, linetype = "dashed", color = "red") +
  labs(
    title = "Shewhart kontrolna karta",
    x = "Biračko mesto",
    y = "Standardizovani indikator",
    color = "Status"
  ) +
  theme_minimal()

Vizualizacija ovih vrednosti odmah otkriva da li postoji trend koji se akumulira, i gde počinje.

Slično se može konstruisati CUSUM kontrolna karta.

## CUSUM kontrolna karta
library(ggplot2)

set.seed(404)
n <- 50
df <- data.frame(
  id = 1:n,
  vrednost = c(rnorm(40, mean = 0, sd = 1), rnorm(10, mean = 3, sd = 1))
)

# Parametri prema početnom ("in control") delu
target <- mean(df$vrednost[1:40])
sigma <- sd(df$vrednost[1:40])

# CUSUM parametri
k <- 0.5 * sigma      # Slack (reference value, često 0.5 * sd)
h <- 5 * sigma        # Kontrolna limita (često 4-5 * sd)

# Pokretno sumiranje odstupanja
Spos <- numeric(n)
Sneg <- numeric(n)

for (i in 1:n) {
  Spos[i] <- max(0, ifelse(i == 1, 0, Spos[i - 1]) + (df$vrednost[i] - target - k))
  Sneg[i] <- min(0, ifelse(i == 1, 0, Sneg[i - 1]) + (df$vrednost[i] - target + k))
}

df$Spos <- Spos
df$Sneg <- Sneg
df$status <- abs(df$Spos) > h | abs(df$Sneg) > h

# Plot
ggplot(df, aes(x = id)) +
  geom_line(aes(y = Spos), color = "blue", size = 1) +
  geom_line(aes(y = Sneg), color = "purple", size = 1) +
  geom_point(aes(y = Spos, color = status)) +
  geom_point(aes(y = Sneg, color = status)) +
  geom_hline(yintercept = h, linetype = "dashed", color = "red") +
  geom_hline(yintercept = -h, linetype = "dashed", color = "red") +
  labs(
    title = "CUSUM kontrolna karta",
    x = "Biračko mesto",
    y = "CUSUM vrednost",
    color = "Van kontrole"
  ) +
  scale_color_manual(values = c("black", "red"), labels = c("U granicama", "Izvan kontrole")) +
  theme_minimal()

Objašnjenje

Spos i Sneg su pozitivni i negativni kumulativni sumatori odstupanja od ciljne vrednosti, korigujući za referentnu vrednost \(k\).
Kad CUSUM pređe granicu \(h\) ili padne ispod \(-h\), sekvenca je signalizirana kao “van kontrole”.
Tačkama koje su izvan granica se automatski dodeljuje crvena boja.

Ova karta može ranije detektovati diskretne ili kumulativne promene koje tipične Shewhart karte propuštaju.

Slika 2 ilustruje CUSUM kontrolnu kartu sa istim simuliranim podacima kao u slučaju Shewhart karata.

U istraživanju forenzike izbora (npr., Klimek i sar., 2012), modeli i statističke metode zasnovane na kumulativnim odstupanjima koja se usklađuju sa logikom CUSUM, pokazuju kako se priraštaj izborna prevara i ekstremna izborna prevara mogu detektovati u rasporedu izlaznosti. Iscrtavanje kumulativnih odstupanja ili osvojenih glasova naprema izlaznosti može otkriti sumnjive “pojačane faze” i sistematsku inflaciju izlaznosti u skladu sa lažnim praksama.

Tako je CUSUM dobro prilagođen za otkrivanje i kvantifikovanje sistematske inflacije izlaznosti u izbornim podacima nadgledanjem odstupanja od agregata od očekivanih nivoa izlaznosti za biračke jedinice ili okruga.

Realna primena i referenca

Većina studija analiza obrazaca izlaznosti u više zemalja (poput Borghesi i sar., 2012) primenjuju statističke kontrole procesa i logiku prostorne korelacije za otkrivanje nepravilnosti. Ove metode se konceptualno preklapaju sa sekvencijalnim metodama poput CUSUM-a, iako CUSUM nije izričito imenovan u mnogim od ovih slučajeva.

Slične se aplikacije pojavljuju u industrijskoj kontroli kvaliteta, nadahnjujući se forenzičkim modelima, gde se izborni podaci (npr. procenat izlaznosti ili glasova) tretira kao procesna promenljiva praćena za kumulativne odstupanja. Ovaj pristup je paralelan CUSUM, ali često je označen kao “sekvencijalno otkrivanje anomalije” ili “kontrolne karte.”

Reference:

Borghesi, C., Raynal, J-C., & Bouchaud, J-P. (2012). Election turnout statistics in many countries: Similarities, differences, and a diffusive field model for decision-making. PLoS ONE 7(5): e36289. DOI: https://doi.org/10.1371/journal.pone.0036289

Klimek, P., Yegorov, Y., Hanel, R., & Thurner, S. (2012). Statistical detection of systematic election irregularities. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 109(41):16469-73. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.1210722109.

Zaključak

Shewhart i CUSUM karte su alati za ozbiljne analitičare, oni omogućavaju detekciju i naglih i kumulativnih anomalija, bez potrebe za velikim količinama podataka ili kompleksnim modelima. Njihova snaga je u real-time primeni, što ih čini neophodnim za organizacije koje žele da monitorišu izbore dok se dešavaju, a ne samo retrospektivno.