Reading Time: 3 minutes

1. Uvod

U prethodnim tekstovima iz serijala „Forenzički alati – Vodič za posmatrače i analitičare“ bavili smo se alatima koji služe za brzu dijagnostiku mogućih nepravilnosti: korelacije, regresije, Benford, kumulativni dijagrami, izborni otisci prstiju. Konturni dijagrami su prirodan nastavak te logike: oni su “elegantna” vizuelna forma 2D histograma (odnos izlaznosti i rezultata pobednika), gde se umesto boja u ćelijama koriste konture, linije jednake gustine/frekvencije.

I ovde je osnovno pravilo isto: konturni dijagram je indikator za proveru, ne dokaz. Njegova snaga je u tome što olakšava uočavanje oblika “oblaka” biračkih mesta, repova i eventualnih “ostrva” (sekundarnih grupisanja).

2. Teorijska i intuitivna osnova

Šta tačno prikazuje konturni dijagram?

Na horizontalnoj osi je izlaznost po biračkom mestu (turnout_pct), a na vertikalnoj udio glasova pobedničke liste u važećim glasovima (winner_pct). U pozadini je ideja 2D histograma (koliko BM ima neku kombinaciju izlaznosti i rezultata pobednika), samo što se umesto “toplotne mape” crtaju konture koje spajaju tačke jednake gustine, analogno izohipsama na topografskoj karti (linije jednake nadmorske visine).

Zašto je to korisno?

• Toplotne mape (izborni otisci prstiju) daje odličnu sliku gde je “najtoplije”, ali konture često bolje pokažu geometriju: da li je oblak izdužen, da li ima rep, da li se pojavljuje dodatno “ostrvo” gustine, itd.
• Konture su posebno korisne kad želite da poređenje bude “čistije” (manje zavisno od skale boja), jer posmatrate oblik i pomeranja linija jednake gustine.

Intuicija “normalnog” obrasca

U izborima bez sistematskih nepravilnosti obično očekujemo jedan dominantan oblak i glatke konture koje se postepeno šire ka nižim gustinama, bez naglog “nabijanja” u ekstremima (npr. blizu 100/100).

Intuicija “sumnjivijih” obrazaca (bez optuživanja)

U literaturi o izbornim otiscima i srodnim prikazima često se diskutuje “razmazanost” (eng. smearing) ka gornjem desnom uglu: kombinacije više izlaznosti + veći udeo glasova pobednika. Konture taj signal prikazuju kao “rep” ili pomeranje linija gustine ka tom regionu. Opet: ovo je kompatibilno sa različitim mehanizmima (od proceduralnih nepravilnosti do pritisaka/mobilizacije), ali i sa legitimnim heterogenostima, zato je to signal za proveru, ne presuda.

3. Primena u forenzici izbora

(a) Trijaža biračkih mesta (eng. screening / flagging)
Konturni dijagram je praktičan kao “radarski ekran”:

• Ako vidite rep kontura ka ekstremima, to je jasan kandidat za listu BM koje treba proveriti kroz zapisnike i terenska zapažanja.
• Ako se pojavljuju “ostrva” gustine odvojena od glavnog oblaka, to može značiti posebne tipove BM (institucije, mala mesta, specifična biračka tela) ili nešto što zahteva objašnjenje.

(b) Poređenje kroz vreme ili prostor (konceptualno)
I bez uvođenja novih podataka u objavu, vredi pomenuti: isti dijagram, nacrtan za različite izbore ili regione, omogućava uočavanje promene oblika kontura (pomeranje, jačanje repova, pojavu sekundarnih gustina).

(c) Kombinovanje sa drugim alatima iz serijala
Konturni dijagram se najbolje koristi u “paketu”:

• Izborni otisci prstiju/toplotne mape (vizuelna gustina po ćelijama),
• korelacije i regresije (formalizacija odnosa),
• kumulativni dijagrami (uvid u raspored),
• Benford / poslednja cifra / “okrugli procenti” (dodatni signali o “previše urednim” brojevima).

4. Ograničenja i kritike

Parametri i osetljivost prikaza

Konture zavise od načina procene gustine (npr. kernel i bandwidth) i broja nivoa kontura. Različite postavke mogu učiniti rep vidljivijim ili “ispeglati” strukturu. Zbog toga je dobra praksa da se uradi jednostavna provera robustnosti: promenitepropusni opseg ili broj kontura i proverite da li se glavna priča menja.

Ekološka zabluda i legitimna heterogenost

Radimo sa agregatima po BM. Visoka izlaznost i visok rezultat pobednika mogu biti legitimni u nekim sredinama. Uloga konturnog dijagrama je da postavi pitanje: “zašto baš tu?”, a ne da sam odgovori.

Signal, ne dokaz

Ovo je ključno: konture su forenzički “detektor dima”, ne “dokaz vatre”. Da bi nalaz bio smislen, mora se povezati sa zapisnicima, prigovorima, posmatračkim izveštajima i drugim statistikama.

5. Praktična komponenta (Excel/R)

A) ✅ Excel (minimalistički pristup)

Excel nije idealan za “prave” konture, ali može da pruži dobru aproksimaciju kroz 2D klasne intervale (kao u objavi na temu izbornih otisaka prstiju), iz kog se konture često mogu vizuelno naslutiti.

1. Podaci: kolone turnout_pct i winner_pct (opciono precinct_size).
2. Klasni intervali: napravite klasne intervale od 0 do 100 npr. po 2% (0, 2, 4, …, 100).
3. Matrica učestalosti: za svaki par klasnih intervala (x, y) izračunajte COUNTIFS (uslov za izlaznost i uslov za pobednika izbora).
4. Toplotna mapa: Conditional Formatting → Color Scale.
5. Čitanje: zone slične boje (gustine) su “približne konture”.

Vredi reći: Excel daje radnu skicu, ali je R bolji alat za konture.

B) ✅ R (jedan konturni dijagram)

# Pretpostavka: df ima turnout_pct i winner_pct (0–100). precinct_size može postojati, ali se ovde ne koristi za graf.

library(dplyr)
library(ggplot2)

df2 <- df %>%
  filter(
    !is.na(turnout_pct), !is.na(winner_pct),
    between(turnout_pct, 0, 100),
    between(winner_pct,  0, 100)
  )
turnout_mean <- mean(df2$turnout_pct)
winner_mean  <- mean(df2$winner_pct)
p_contour <- ggplot(df2, aes(x = turnout_pct, y = winner_pct)) +
  geom_density_2d(linewidth = 0.8) +
  geom_vline(xintercept = turnout_mean, linetype = "dashed", linewidth = 0.8) +
  geom_hline(yintercept = winner_mean,  linetype = "dashed", linewidth = 0.8) +
  coord_cartesian(xlim = c(0, 100), ylim = c(0, 100)) +
  labs(
    title = "Konturni dijagram: izlaznost vs udeo glasova pobednika (SNS lista: Aleksandar Vučić)",
    x = "Izlaznost po biračkom mestu (%)",
    y = "Udeo glasova pobedničke liste u važećim glasovima (%)"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 12)
print(p_contour)

Ako želite jednostavnu proveru robustnosti, promeniti “oštrinu” kontura (bandwidth). U geom_density_2d() to se radi preko parametra adjust (npr. adjust = 0.8 ili adjust = 1.2) i proveri da li se repovi/ostrva pojavljuju stabilno.

6. Analiza slučaja: Parlamentarni izbori 2023 (Srbija)

U standardnoj studiji slučaja serijala posmatramo parlamentarne izbore u Srbiji 2023, na nivou biračkog mesta, za pobedničku listu SNS (nosilac: Aleksandar Vučić). U slučaju slobodnih i poštenih izbora očekuje se da osvojeni glasovi pobednika budu otprilike na istom nivou bez obzira na veličinu biračkog mesta. Tehnički rečeno, očekuje se da se konturni dijagrami na malim i velikim biračkim mestima poklapaju. Tragovi prinude birača mogu se identifikovati upoređivanjem standardizovanih otisaka malih (plave linije) i velikih (crvene linije) biračkih mesta, pošto prinuda birača dovodi do njihovog pomeranja ka naduvanim glasovima i izlaznosti.

U slučaju izborne liste Aleksandar Vučić, pobednika parlamentarnih izbora 2023. godine dobija se isti obrazac ponašanja konturnih dijagrama za mala i velika birališta (Slika 2(b)) kakav je uočen na predsedničkim izborima u Turskoj. Radi poređenja naveden je i konturni dijagram pobednika izbora 2022. godine, izborna lista Aleksandar Vučić (Slika 2(a)). Na malim biračkim mestima izborna lista Aleksandar Vučić je u obe izborne godine osvojio više glasova nego na velikim biralištima. To prema Klimek, Aykaç & Thurner (2023) ukazuje na prinudu birača na malim biračkim mestima, što se iskazuje većom izlaznošću i većim procentom osvojenih glasova nego na velikim biračkim mestima. Može se takođe uočiti skoro identičan obrazac ponašanja ovih konturnih dijagrama u ove dve izborne godine. Međutim, u 2023. godini centroidi kontura malih i velikih biralištima su udaljeniji nego što je to bio slučaj na izborima 2022. godine. To ukazuje na to da je između dve izborne godine došlo do pogoršanja izborne demokratije.

Konturni dijagram se čita ovako: većina biračkih mesta formira jedan centralni oblak (dominantna gustina), a zatim pratimo da li postoje repovi ka ekstremima i da li se konture “zbijaju” u regionima koji deluju neuobičajeno. Posebno naglašavamo vezu sa konceptom pritisak/mobilizacija birača (eng. voter rigging) kao mehanizmom koji se u literaturi dovodi u vezu sa pomeranjem ka višoj izlaznosti i višem rezultatu pobednika.

Šta proveriti ako konture sugerišu rep ka gornjem desnom uglu?

• zapisnici: konzistentnost upisanih/izašlih/važećih/nevažećih i kontrolnih suma,
• koncentracija ekstremnih BM po opštinama ili tipovima mesta,
• da li su prisutni “okrugli procenti” (izlaznost ili rezultat pobednika tačno 80, 85, 90…),
• usklađenost sa terenskim izveštajima posmatrača (incidenti, pritisci, neregularnosti u proceduri).

OKVIR 1 — Kako čitati konture

Rep ka gornjem desnom uglu znači da se deo biračkih mesta grupiše u kombinacijama visoka izlaznost + visok udeo pobednika. To može biti kompatibilno poput snažne mobilizacije ili pritiska, ali i sa legitimnim lokalnim specifičnostima. Konture same ne kažu “zašto”, one samo govore “ovde vredi proveriti”.

OKVIR 2 — Lista provere za posmatrače (kada konture izgledaju “previše zbijeno” u ekstremima)

1. Izlistaj BM u ekstremnim zonama (visok turnout i visok winner_pct) i proveri zapisnike.
2. Proveri nevažeće glasove: neuobičajeno niski/visoki u ekstremnim BM.
3. Proveri “okrugle procente” (eng. integer percentages) kao dodatni signal.
4. Proveri da li su ekstremi geografski koncentrisani.
5. Uradi internu proveru po veličini BM (posebno <100 i donjih 20%), makar samo tabelarno.
6. Upari nalaz sa posmatračkim izveštajima i prigovorima.

7. Zaključci i preporuke za posmatrače i analitičare

1. Konturni dijagram koristi kao brzi pregled odnosa izlaznosti i rezultata pobednika po BM.
2. Gledaj oblik: repovi, ostrva, asimetrije, to su kandidati za proveru.
3. Uradi proveru robustnosti (širina propusnog opsega; broj kontura) da se ne “zalepiš” za jednu postavku.
4. Uvek koristi konzistentne definicije: winner_pct u važećim glasovima, turnout_pct kao izašli/upisani.
5. Ne zaključuj o prevari: koristi jezik “indikator”, “zahteva proveru”, “kompatibilno sa…”.
6. Kombinuj alate: konture + otiske prstiju/toplotne mape + Benford/poslednja cifra + “okrugli procenti” + kumulativni dijagrami.
7. Poveži statistiku sa evidencijom: zapisnici, prigovori, posmatrači, lokalni kontekst.

8. Literatura

• Jiménez, R., Hidalgo, M., & Klimek, P. (2017). Testing for voter rigging in small polling stations. Science Advances, 3(8), e1602363. DOI: https://doi.org/10.1126/sciadv.1602363
• Klimek, P., Aykaç, A., & Thurner, S. (2023). Forensic analysis of the Turkey 2023 presidential election reveals extreme vote swings in remote areas. PLOS ONE, 18(11), e0293239. DOI: https://doi.org/10.1371/journal.pone.0293239
• Klimek, P., Yegorov, Y., Hanel, R., & Thurner, S. (2012). Statistical detection of systematic election irregularities. Proceedings of the National Academy of Sciences, 109(41), 16469–16473. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.1210722109
• Kobak, D., Shpilkin, S., & Pshenichnikov, M. S. (2016). Integer percentages as electoral falsification fingerprints. The Annals of Applied Statistics, 10(1). DOI: https://doi.org/10.1214/16-AOAS904
• Kobak, D., Shpilkin, S., & Pshenichnikov, M. S. (2016). Statistical fingerprints of electoral fraud? Significance, 13(4), 20–23. DOI: https://doi.org/10.1111/j.1740-9713.2016.00936.x