Reading Time: 7 minutes

1. Uvod

U prethodnim tekstovima iz serijala koristili smo alate koji proveravaju biračka mesta (BM) po različitim signalima: korelacije, Benford, kumulativne krive, otisci prstiju. Ova objava uvodi još jedan klasičan indikator iz repertoara izborne forenzike, često korišćen u analizama ruskih izbora: regresiju osvojenih glasova (kandidata/liste) prema izlaznosti na nivou biračkog mesta.

Ideja je intuitivna: ako se izlaznost “podiže” na način koji sistematski koristi jednoj listi, onda rast izlaznosti ide “zajedno” sa rastom glasova te liste, toliko snažno da se ponekad dobija i matematički besmislena interpretacija (npr. “na 100 novih izašlih – 110 glasova za pobednika”). Upravo takvi slučajevi su crvena zastavica za ciljanu proveru zapisnika i uslova na biračkim mestima.

2. Teorijska i intuitivna osnova

U nacrtu polaziš od jednostavnog modela: \(\frac{V_i}{E_i} = \alpha + \beta T_i + \varepsilon_i\)

gde je:

• \(T_i\) izlaznost na biračkom mestu \(i\) (izašli / upisani),
• \(V_i\) broj glasova za posmatranu listu (kandidata) na BM \(i\),
• \((E_i\) broj upisanih birača na BM \(i\)

Leva strana \(V_i/E_i\) je “glasovi liste kao udeo broja upisanih birača na BM.” Zašto baš tako definišemo zavisnu promenljivu? Zato što je to najdirektniji način da se “na istu skalu” stave biračka mesta različite veličine.

Šta očekujemo u “mirnom” scenariju?
U slobodnim i poštenim izborima (\(\beta\)) bi trebalo da bude približno 0, tj. dodatna izlaznost ne menja sistematski udeo glasova liste u upisanima. (U praksi, naravno, (\(\beta\)) može odstupati od 0 i bez manipulacija, zbog mobilizacije u uporištima, urbano-ruralnih razlika i sl., zato kasnije insistiramo na koršćenju izraza “signal, ne dokaz”.)

Šta očekujemo ako postoji “veštačko podizanje izl listi?
Ako se izlaznost povećava na način koji disproporcionalno koristi jednoj listi, (\beta) postaje pozitivna, a u ekstremu može biti bliska 1 ili čak veća od 1. Primer sa izbora u Ruskoj Federaciji: \(\beta=1.10\) za Putina (Moskva 2004) tumači se kao “na 100 novih izašlih — 110 glasova”, što je nemoguće bez falsifikovanja.

Ova “nemogućnost” se može objasniti tako što važi ograničenje: \(V_i \le \text{izašli}_i = T_i \cdot E_i \Rightarrow \frac{V_i}{E_i} \le T_i\)

Dakle, na dijagramu rasturanja (\(y_i = V_i/E_i\)) prema (\(T_i) \), tačke bi u principu trebalo da budu ispod dijagonale (\(y=x\)). Sistematska pojava tačaka “iznad dijagonale” ili nagib koji gura regresionu liniju ka “nemogućim” interpretacijama je upravo ono što ovaj alat pokušava da uhvati kao signal.

Zašto se u istom grafiku prikazuje pobednik i prva opoziciona lista?
Zato što dobijamo “kontrolu iznutra”: ako dodatna izlaznost ne dodaje proporcionalno glasove na račun opozicije, to se često vidi da je \(\beta\) blizu 0 ili čak negativna (opozicija relativno gubi kako izlaznost raste u “sumnjivim” zonama). To se na Slici 2 ilustruje sa listom Miroslava Aleksića naspram liste Aleksandra Vučića.

3. Primena u forenzici izbora

Ovaj alat je najkorisniji u tri režima:

1. Trijaža (Screening / flagging) visoka vrednost \(\beta\) koeficijenta za pobednika?

• Da li prelazi 1 u nekim podskupovima (okrug, tip biračkog mesta)?
• Da li opozicija ima \(\beta \approx 0\) ili negativnu?
  To daje prioritetnu listu za proveru.

2. Poređenje kroz vreme
   Rast \(\beta\) iz ciklusa u ciklus (za istu listu ili “vladajući blok”) može biti signal pogoršanja izborne klime, uz obaveznu proveru alternativnih objašnjenja.
3. Poređenje teritorija
   Ako je \(\beta\) visoka samo u pojedinim okruzima, fokus prebacujemo na lokalni kontekst: struktura biračkih mesta, prisustvo posmatrača, specifične institucije, ponavljanje obrazaca.

4. Ograničenja i kritike

Ovo je moćan indikator, ali “osetljiv” na realnu heterogenost (prirodna korelacija izlaznosti i preferencija). Mobilizacija u uporištima, urbano-ruralne razlike i socio-demografija mogu dati pozitivan koeficijent \(\beta\) i bez manipulacija. Zato je pogrešno automatski “čitati” \(\beta>0\\)

• Heteroskedastičnost. Mala biračka mesta imaju veću varijansu; preporuka je robusna standardna greška i/ili ponderisana regresija težinama \(E_i\).
• Agregacija. Na nivou okruga i većih celina, bez kontrola (približne/proxy promenljivih) lako je pomešati političku geografiju sa forenzičkim signalom.
• Signal, ne dokaz. Čak i \(\beta>1\) traži proveru evidencijom (zapisnici, kontrolne sume, posmatrači). Dobro je imati i “spoljne” potvrde o riziku: npr. eksperimentalni rad Enikolopova i saradnika pokazuje da prisustvo nezavisnih posmatrača u Moskvi 2011 menja ishode, što potvrđuje da “terenska infrastruktura” može imati veliki uticaj.

5. Praktična komponenta (Excel/R)

A) ✅ Excel (minimalistički)

Pretpostavi kolone:

• turnout_pct (izlaznost u %),
• winner_votes (glasovi za pobedničku listu),
• opp1_votes (glasovi za prvu opozicionu listu),
• registered_voters (upisani birači).

Koraci:

1. Izračunaj (T): T = turnout_pct / 100
2. Izračunaj (y) za obe liste:
   • y_winner = winner_votes / registered_voters
   • y_opp1 = opp1_votes / registered_voters
3. Napravi scatter plot:
   • X osa: T
   • Y osa: y_winner i y_opp1 kao dve serije (dve boje)
4. Dodaj trendline (linear) za obe serije i prikaži jednačine (α, β) i R².
5. (Opciona robustnost) Ponovi isto samo za Toplički okrug ili za izdvojene okruge.

B) ✅ R (reproduktivan kod)

# Pretpostavi df sa kolonama:
# turnout_pct, registered_voters, winner_votes, opp1_votes
# opciono: okrug (naziv okruga)
library(dplyr)
library(tidyr)
library(ggplot2)

# Za robusne SE
library(sandwich)
library(lmtest)

df2 <- df %>%
  mutate(
    T = turnout_pct / 100,
    y_winner = winner_votes / registered_voters,
    y_opp1   = opp1_votes   / registered_voters
  ) %>%
  filter(
    !is.na(T), !is.na(y_winner), !is.na(y_opp1),
    between(T, 0, 1),
    registered_voters > 0
  )

# Long format za zajednički graf
df_long <- df2 %>%
  select(T, registered_voters, y_winner, y_opp1) %>%
  pivot_longer(cols = c(y_winner, y_opp1),
               names_to = "lista",
               values_to = "y") %>%
  mutate(lista = recode(lista,
                        y_winner = "Pobednička lista (SNS/Vučić)",
                        y_opp1   = "Prva opoziciona lista"))

# Scatter + dve regresione linije (isti graf)
p <- ggplot(df_long, aes(x = T, y = y, color = lista)) +
  geom_point(alpha = 0.25, size = 1) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, linewidth = 1) +
  labs(
    title = "Regresija osvojenih glasova (u udelu upisanih) prema izlaznosti",
    x = "Izlaznost T = izašli / upisani",
    y = "Udeo glasova liste u upisanim (V/E)",
    color = ""
  ) +
  coord_cartesian(xlim = c(0, 1), ylim = c(0, 1)) +
  theme_minimal(base_size = 12)

print(p)

# Modeli + robusne SE + ponderi (težine = registered_voters)
m_win <- lm(y_winner ~ T, data = df2, weights = registered_voters)
m_opp <- lm(y_opp1   ~ T, data = df2, weights = registered_voters)

coeftest(m_win, vcov. = vcovHC(m_win, type = "HC1"))
coeftest(m_opp, vcov. = vcovHC(m_opp, type = "HC1"))

# Opciono: β po okrugu (za pobednika) i flag β>1
if ("okrug" %in% names(df2)) {
  betas <- df2 %>%
    group_by(okrug) %>%
    do({
      m <- lm(y_winner ~ T, data = ., weights = .$registered_voters)
      data.frame(
        beta = coef(m)[["T"]],
        n_bm = nrow(.)
      )
    }) %>%
    ungroup() %>%
    arrange(desc(beta))

  betas %>% filter(beta > 1)
}

Napomena: Naglašavamo da je ponderisanje korisno jer velika biračka mesta nose više informacija, a robusne standardne greške su korisne zbog heteroskedastičnosti.

6. Analiza slučaja: Parlamentarni izbori 2023 (Srbija)

Standardni primer serijala: parlamentarni izbori u Srbiji 2023 na nivou biračkog mesta, sa pobedničkom listom SNS (nosilac: Aleksandar Vučić) i prvom opozicionom listom (u nacrtu: Miroslav Aleksić) prikazanim na istom grafiku.

6.1. Nacionalni nivo (Republika Srbija)

Na Slici 2 vidno je da pobednička lista pokazuje pozitivan nagib regresije (β “bliska jedinici”), posebno izražen kod malih biračkih mesta, dok su regresione linije prve opozicione liste uglavnom blizu horizontalne (β mala), uz izuzetak kod velikih birališta. Ključna interpretacija: ako bi “dodata izlaznost” išla disporcionalno u korist pobedniku, tada je prirodno da pobednik ima pozitivan nagib, dok opozicija ne dobija “proporcionalno” od porasta izlaznosti.

Opciona provera robustnosti: u ovoj objavi tretiramo podelu po veličini biračkog mestato kao proveru robustnosti. U praksi je dovoljno: (i) izračunati standardne grupe (<100 upisanih; zatim donjih 20% i gornjih 20% po upisanima) i (ii) proveriti da li se β bitno menja.

6.2. Toplički okrug: kompletan primer

Navodimo Toplički okrug kao detaljan primer “okruga gde se javlja sumnja da je izborni proces kompromitovan” (Slika 3).

Tu se dobija obrazac:

• za prvu opozicionu listu regresiona linija ima negativan nagib, ali β u statističkom smislu nije različit od nule (dakle, nema sistematske promene udela opozicije sa porastom izlaznosti);
• za pobedničku listu regresione linije imaju jasan pozitivan nagib, a u tri segmenta (sva BM; <100; mala BM) koeficijenti β su takvi da daju “nemoguću” interpretaciju (“na 100 novih izašlih — 110 glasova”), što ukazuje na moguću manipulaciju kroz ubacivanje dodatnih listića u korist pobednika.

Ono što vredi eksplicitno pojačati (da tekst bude metodološki “čist”):

• β>1 ovde nije “dokaz”, nego signal koji je teško objasniti bez ozbiljnih proceduralnih problema, jer je u osnovi u konfliktu sa mehaničkim ograničenjem \(V_i \le T_iE_i\).
• sledeći korak nije interpretacija motiva, već provera dokumentacije: zapisnici, kontrolne sume, broj važećih/nevažećih, eventualni prepis/unracija, prisustvo posmatrača.
• dodatno, poželjno je proveriti da li se isti obrazac ponavlja kroz cikluse (to smo uradili u Tabeli 1).

Tabela 1: Koeficijent β pobednika izbora – Toplički okrug

Veličina biračkog mesta	Predsednički izbori 2022	Parlamentarni izbori 2022	Parlamentarni izbori 2023
Sva biračka mesta	1.13	1.14	1.10
BM sa manje od 100 birača	0.87	0.76	0.81
Mala biračka mesta (donjih 20 percentila)	1.12	1.17	1.10

Vidno je da su β koeficijenti u Topličkom okrugu približno jednaki na predsedničkim i parlamentarnim izborima 2022. i parlamentarnim izborima 2023., i da su (u ključnim grupama) veća vrednost β obrazac koji se može “ponavljati” kroz cikluse, pa zahteva pojačan nadzor na narednim izborima.

Tabela 2: Okruzi u kojima je β > 1 (za rezultate pobednika) po grupama biračkih mesta
(“Da” označava da je ocenjeni koeficijent β u toj kategoriji veći od 1)

R.br.	Okrug	Sva birališta	Manja od 100	Mala birališta	Velika birališta
1	Južnobanatski okrug		Da
2	Borski okrug		Da
3	Zavodi za izvršenje zavodskih sankcija	Da	Da	Da
4	Zapadnobački okrug			Da
5	Kosovsko-pomoravski okrug				Da
6	Nišavski okrug	Da
7	Pirotski okrug	Da
8	Pomoravski okrug				Da
9	Severnobanatski okrug	Da	Da
10	Severnobački okrug			Da
11	Srednjobanatski okrug			Da
12	Sremski okrug	Da		Da
13	Toplički okrug	Da		Da
	Ukupno	6	4	6	2

Zaključak je praktičan i “posmatrački”: okruzi gde je β>1 (posebno za “sva” i “mala” biračka mesta) treba da budu prioritet u proveri i u organizaciji posmatranja, jer visok β ukazuje na moguću manipulaciju kroz dodavanja dopunskih listića u korist pobednika.

OKVIR 1 — Kako tumačiti β (od 0 do >1)

• β ≈ 0: udeo glasova liste u upisanim se sistematski ne menja sa izlaznošću (nije signal za “turnout-driven” anomaliju).
• 0 < β < 1: dodatna izlaznost ide delom u korist liste (može biti i legitimna mobilizacija).
• β ≈ 1: gotovo svaki dodatni “izašli” ide u korist liste (već snažan signal za proveru).
• β > 1: “nemoguća” interpretacija u jednostavnom čitanju (više glasova nego dodatnih izašlih) – zahteva postojanu proveru zapisnika i uslova na biračkim mestima, ali i dalje indikator, ne presuda.

OKVIR 2 — Kontrolna lista za posmatrače (kada je β visok)

1. Izlistaj biračka mesta koja “pune” visoku izlaznost i visok \(V/E\).
2. Proveri zapisnike: upisani–izašli–važeći–nevažeći, kontrolne sume, eventualne korekcije.
3. Proveri prostornu koncentraciju (da li su BM grupisana u istim opštinama/okrugu).
4. Upari nalaz sa drugim alatima: otisci prstiju/konture, rasporedi izlaznosti i osvojenih glasova, testovi na osnovu cifara.
5. Proveri “robustnost”: ponderisana regresija (ponderi=E), robusne standardne greške ocene, i opciona provera po veličini BM.

7. Zaključci i preporuke za posmatrače i analitičare

1. Regresija \(V/E\) na izlaznost je odličan alat za proveravanje anomalija uzrokovane izraznošću.
2. Najbolje radi kada na istom grafiku prikažeš pobednika i prvu opozicionu listu (unutrašnja kontrola).
3. β>1 tretiraj kao prioritetni signal: ne “dokaz”, ali dovoljno jak da opravda ciljanu proveru i pojačano posmatranje.
4. Uvek uradi proveru robustnosti: ponderi po veličini BM + robusne standardne greške; po potrebi i podela po veličini BM kao opciona provera.
5. Najveća praktična vrednost je u “operativnim” izlazima: lista okruga/BM za proveru, i jasna procedura kontrolne liste.

8. Literatura

• Enikolopov, R., Korovkin, V., Petrova, M., Sonin, K., & Zakharov, A. (2013). Field experiment estimate of electoral fraud in Russian parliamentary elections. Proceedings of the National Academy of Sciences, 110(2), 448–452. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.1206770110
• Jiménez, R., Hidalgo, M., & Klimek, P. (2017). Testing for voter rigging in small polling stations. Science Advances, 3(8), e1602363. DOI: https://doi.org/10.1126/sciadv.1602363
• Klimek, P., Yegorov, Y., Hanel, R., & Thurner, S. (2012). Statistical detection of systematic election irregularities. Proceedings of the National Academy of Sciences, 109(41), 16469–16473. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.1210722109
• Kobak, D., Shpilkin, S., & Pshenichnikov, M. S. (2016). Integer percentages as electoral falsification fingerprints. The Annals of Applied Statistics, 10(1). DOI: https://doi.org/10.1214/16-AOAS904
• Lukinova, E., Myagkov, M., & Ordeshook, P. C. (2011). Metastasised fraud in Russia’s 2008 presidential election. Europe-Asia Studies, 63(4), 603–621. DOI: https://doi.org/10.1080/09668136.2011.566426
• Rozenas, A. (2017). Detecting election fraud from irregularities in vote-share distributions. Political Analysis, 25(1), 41–56. DOI: https://doi.org/10.1017/pan.2016.9