Reading Time: 4 minutes

1. Uvod

U izbornim podacima često je najkorisnije krenuti od najprostijih stvari: kako izgleda raspored izlaznosti po biračkim mestima i kako izgleda raspored rezultata pobedničke liste po biračkim mestima. Ovi histogrami su “bazični instrument” u tradiciji ruske izborne forenzike povezane sa Sergejem Špiljkinom, jer na jednom mestu mogu da otkriju obrasce koje je teško videti u tabelama: zadebljane desne repove, pomeranje raspodele kroz vreme, i naročito “šiljke” na okruglim procentima.

Poenta nije da histogram “dokazuje” manipulaciju. Poenta je da histogram pomaže da se napravi lista pitanja: gde su ekstremi, da li su prostorno koncentrisani, da li se ponavljaju na okruglim vrednostima, i da li se obrazac menja kroz izborne cikluse. Ovo je tipičan “screening” alat koji zatim treba upariti sa zapisnicima, posmatračkim izveštajima i drugim metodama iz serijala.

2. Teorijska i intuitivna osnova

Šta tačno gledamo?
Konstruišemo dva histograma na nivou biračkog mesta (BM):

• Raspored izlaznosti: histogram turnout_pct (izašli/upisani, 0–100).
• Raspored rezultata pobednika: histogram winner_pct (pobednička lista u važećim glasovima, 0–100).

Intuicija “glatke” raspodele
Ako izlaznost i izborni rezultat variraju po BM (različite lokalne preferencije, socio-demografija, urbano-ruralne razlike), raspored će često biti relativno gladak: nema naglih diskontinuiteta, a vrednosti u susednim klasnim intervalima ne “iskaču” dramatično. Primer rasporeda izbornih rezultata u Poljskoj 2005. godine je ilustracija takvog obrasca.

Šta su “šiljci” i zašto su zanimljivi?
Šiljak znači: iznenada mnogo vrednosti u klasnim intervalima koji su tačno na okrugloj vrednosti (npr. klasni intervali na 60%, 65%, 75%…). Špiljkinov argument je da, ako je proces izveštavanja “prirodan”, ne bi trebalo da postoji preferencija ka baš tim tačkama; dok kod falsifikovanja/ručne korekcije ili administrativnog zaokruživanja može postojati “ljudska privlačnost” ka okruglim brojevima.

Desni rep i pomeranje udesno
U literature se navode i dva dodatna znaka: (1) raspored se iz ciklusa u ciklus “gura udesno”, i (2) desni rep postaje deblji (više BM sa vrlo visokom izlaznošću i/ili vrlo visokim rezultatom pobednika). U ekstremnim slučajevima može se pojaviti i bimodalnost.

3) Primena u forenzici izbora

(a) Trijaža (Screening / flagging)
Histogrami su odlični za “trijažu”:

• Visoke vrednosti u klasni intervalima u repovima (npr. izlaznost 90–100) i
• Klasni intervali sa šiljcima (npr. winner_pct = 75)
  postaju kandidati za proveriti kroz zapisnike i lokalni kontekst.

(b) Poređenje kroz vreme (isti nivo agregacije)
Kada nacrtaš rasporede za dve izborne godine, gledaš:

• da li se krive pomeraju udesno,
• da li repovi rastu,
• da li se šiljci pojavljuju/jačaju.
  Ovo je jedna od praktično najvrednijih upotreba ovog alata: isti “instrument” kroz vreme.

(c) Kombinovanje sa drugim alatima
Rasporedi su najmoćniji alati u paketu sa:

• otiscima prstiju/konturnim dijagramom (2D slika izlaznost × glasovi pobednika),
• aproksimativnom normalnošću (transformisan raspored),
• testovima na osnovu cifara (npr. “celobrojni procenti” i srodne ideje),
• kumulativnim dijagramima.

4. Ograničenja i kritike

1. Legitimna heterogenost: repovi mogu biti realni (npr. specifične zajednice, urbani/ ruralni kontrast, lokalna mobilizacija). Rep sam po sebi nije dokaz.
2. Administrativni efekti: šiljci mogu nastati i iz praksi izveštavanja ili zaokruživanja, ne nužno iz direktnog “ubacivanja listića”.
3. Klasni intervali i mali uzorak: kod manjih brojeva biračkih mesta, preuski klasni intervali mogu proizvesti “veštačke” šiljke koji su samo statistički šum. Zato izbor širine klasnog intervala mora biti pragmatičan (vidi sledeću tačku).
4. Signal, ne dokaz: histogram mora da vodi ka proveri (zapisnici, prostorna koncentracija, posmatrači), ne ka automatskom zaključku.

5. Praktična komponenta (Excel/R)

Ključna napomena o klasnim intervalima (obavezno pre crtanja)

Širina klasnog intervala zavisi od broja biračkih mesta. U ruskim federalnim izborima, sa ogromnim brojem BM, moguće je koristiti finu rezoluciju (npr. 0.25%) i dobiti stabilnu sliku. U Srbiji, sa znatno manjim brojem BM, preuski klasni intervali često daju mnoštvo “šiljkova” koji su samo posledica diskretnosti i malog uzorka. Zato je u ovoj analizi razumno uzeti da je širina klasnog intervala 2% (4% u slučaju izbora u Beogradu).

A) ✅ Excel (minimalistički)

Pretpostavimo da imamo tabelu podataka sa sledećim kolonama: turnout_pct i winner_pct.

1. Histogram izlaznosti

• Klasni intervali: 0, 1, 2, …, 100 (ili 0, 2, 4,…,100 ako je previše “šumno”).
• Napravi histogram (Data Analysis Toolpak ili FREQUENCY/COUNTIFS pristup).

2. Histogram rezultata pobednika

• Isti princip: klasni intervali 0–100 sa 1% (ili 2%) intervalima.

3. Označi okrugle procente

• Dodaj vizuelne markere na 50, 55, 60,…,100 (ili bar 60, 65, …, 100).
• Šiljak je kada je u vrednost u klasnom intervalu 65 znatno veći od vrednosti u klasnim intervalima 64 i 66 (u istoj skali).

4. Kako čitati

• Da li ima repova ka visokim vrednostima?
• Da li postoje šiljci baš na multiplikatorima od 5%?

B) ✅ R (tidyverse + ggplot2)

Pretpostavi postojanje data frame (df) sa kolonama turnout_pct i winner_pct.

1) Histogrami sa stabilnom širinom klasnog intervala (podrazumevajuća vrednost je 1%)

df2 <- df %>%
  filter(
    !is.na(turnout_pct), !is.na(winner_pct),
    between(turnout_pct, 0, 100),
    between(winner_pct,  0, 100)
  )

# Pragmatičan izbor binwidth-a:
# - default 1%
# - ako je uzorak mali i “zvoni”, probaj 2%
binw <- 1

p_turnout <- ggplot(df2, aes(x = turnout_pct)) +
  geom_histogram(aes(y = after_stat(density)),
                 binwidth = binw, boundary = 0, closed = "left") +
  geom_vline(xintercept = seq(50, 100, by = 5), linetype = "dotted", linewidth = 0.4) +
  labs(
    title = "Raspored izlaznosti po biračkim mestima",
    x = "Izlaznost (turnout_pct)",
    y = "Gustina"
  ) +
  coord_cartesian(xlim = c(0, 100)) +
  theme_minimal(base_size = 12)

p_winner <- ggplot(df2, aes(x = winner_pct)) +
  geom_histogram(aes(y = after_stat(density)),
                 binwidth = binw, boundary = 0, closed = "left") +
  geom_vline(xintercept = seq(50, 100, by = 5), linetype = "dotted", linewidth = 0.4) +
  labs(
    title = "Raspored rezultata pobedničke liste po biračkim mestima",
    x = "Udeo pobednika u važećim glasovima (winner_pct)",
    y = "Gustina"
  ) +
  coord_cartesian(xlim = c(0, 100)) +
  theme_minimal(base_size = 12)

print(p_turnout)
print(p_winner)

2) Jednostavan “poen šiljka” po klasnom intervalu
Ideja: uporedi gustinu u klasnom intervalu sa prosekom susedna dva klasna intervala.

make_spike_table <- function(x, binwidth = 1) {
  breaks <- seq(0, 100, by = binwidth)
  bins <- cut(x, breaks = breaks, include.lowest = TRUE, right = FALSE)
  tab  <- as.data.frame(table(bins), stringsAsFactors = FALSE)
  tab$count <- tab$Freq
  tab$Freq <- NULL

  n <- length(x)
  tab$density <- tab$count / (n * binwidth)

  # spike = density(bin) - mean(density(neighbors))
  tab$dens_lag  <- dplyr::lag(tab$density)
  tab$dens_lead <- dplyr::lead(tab$density)
  tab$spike <- tab$density - (tab$dens_lag + tab$dens_lead) / 2

  tab
}

sp_turnout <- make_spike_table(df2$turnout_pct, binwidth = binw)
sp_winner  <- make_spike_table(df2$winner_pct,  binwidth = binw)

# Top “šiljci” (ignorisi NA na ivicama)
sp_turnout %>% arrange(desc(spike)) %>% head(10)
sp_winner  %>% arrange(desc(spike)) %>% head(10)

3) Kratko o “protresanju” (eng. jitter) (provera robustnosti)
Kobak–Špiljkin–Pšenjičnikov pokazuju da diskretnost i ljudska sklonost ka okruglim brojevima mogu proizvesti “celobrojne procente/integer percentage” anomalije, i koriste trik dodavanja malog uniformnog šuma u brojioc pre računanja procenata kako bi se izbegli artefakti celobrojnih podela.

U našem kontekstu, ako imaš samo već izračunate procente, možeš uraditi približnu proveru robustnosti tako što “zatreseš” procente vrlo malo (npr. ±0.2 p.p.) i vidiš da li šiljci opstaju:

set.seed(1)
df_j <- df2 %>%
  mutate(
    turnout_j = pmin(100, pmax(0, turnout_pct + runif(n(), -0.2, 0.2))),
    winner_j  = pmin(100, pmax(0, winner_pct  + runif(n(), -0.2, 0.2)))
  )

# Ako šiljci nestanu posle jitter-a, mogu biti artefakt diskretizacije/klasnih intervala.
# Ako opstanu (u smislu: i dalje “iskaču” oko istih zona), signal je robusniji.

👉 Napomena: protresanje/jitter nije “popravka podataka”, nego dijagnostička provera stabilnosti šiljaka.

6. Analiza slučaja: Parlamentarni izbori 2023 (Srbija)

Standardni primer serijala: parlamentarni izbori u Srbiji 2023, na nivou biračkog mesta, za pobedničku listu SNS čiji je nosilac Aleksandar Vučić. Ovde prikazujemo oba rasporeda: izlaznost i rezultat pobednika.

Grafikoni za Srbiju 2023 ne liče na ekstremne obrasce opisane za Rusiju (2000–2012), gde se vidi istovremeno pomeranje udesno i zadebljanje desnog repa, uz vidljive šiljke na 60, 65, …, 100.

Međutim, u 2023. godini se vidi fenomen šiljaka u raspodeli rezultata pobedničke liste (40%, 65% i 75%), što je upravo tip signala koji ovaj alat treba da “izvuče na površinu”. U idealno “glatkom” scenariju (poput ilustracije rasporeda na izborima u Poljskoj 2005) očekivali bismo znatno manje izražene lokalne skokove.

Poređenje sa 2022: obrasci 2022 i 2023 su prilično slični, uz blago pomeranje udesno raspodele 2023. U Špiljkinovom interpretativnom okviru, pomeranje udesno i jačanje repa/šiljaka kroz vreme tretira se kao indikator potencijalnog pogoršanja izborne demokratije, ali to i dalje ostaje indikator koji mora da se prove(zapisnici, terenski nalazi, prostorna analiza).

Šta proveriti kada vidiš šiljke ili repove:

• zapisnike (važeći/nevažeći, kontrolne sume),
• da li su BM sa šiljcima prostorno koncentrisani,
• da li se isti BM izdvajaju i u 2D prikazima (otisci prstiju/konture),
• da li postoji “celobrojni procenti/integer percentages” signal (okrugli procenti), i da li opstaje posle provere robustnosti “protresanjem”

OKVIR 1 — Šiljci na 5%: zašto su zanimljivi i šta NE dokazuju

Šiljci su zanimljivi jer mogu ukazivati na “privlačnost okruglih brojeva” u izveštavanju ili intervencijama. Ali šiljak sam po sebi ne dokazuje uzrok: može nastati i iz definicije klasnih intervala, diskretnosti, ili administrativnog zaokruživanja. Zato se šiljci tretiraju kao signal za proveru i testiraju robusno (npr. promenom širine klasnog intervala, proverom “protresanjem”).

OKVIR 2 — Lista provere: od histograma do provere

1. Ponovi histogram sa širinom klasnog intervala 1% i 2%: da li šiljci opstaju?
2. Uradi proveru “protresanja”: da li se “lokalni skokovi” isčezavaju ili ostaju?
3. Izlistaj BM koji upadaju u sumnjive klasne intervale (npr. tačno 65%). Proveri zapisnike i kontrolne sume.
4. Proveri prostornu koncentraciju (opštine/okrug).
5. Uporedi sa 2D prikazima (otisci prstiju/konture) i testovima na osnovu cifara.

7. Zaključci i preporuke za posmatrače i analitičare

1. Počni od dva histograma (izlaznost i glasovi pobednika): to je najbrža “slika stanja”.
2. Širinu klasnog intervala prilagodi veličini uzorka: u Srbiji je 2% razumna podrazumevajuća vrednost, uži klasni intervali lako proizvodi šum.
3. Šiljke tretiraj kao signal i uvek radi proveru robustnosti: promeni širinu klasnog intervala + uradi proveru “protresanjem”.
4. Ne zaključuj o uzroku iz oblika rasporeda: konsultuj dokumente (zapisnike) i kontekst.
5. Kombinuj sa drugim alatima: otisci prstiju/konture, aproksimativna normalnost, kumulativni dijagrami, testovi na osnovu cifara.
6. Najveća vrednost ovog alata je u poređenju kroz vreme: “da li se repovi i šiljci pojačavaju ili slabe?”.

8. Literatura  

• Klimek, P., Yegorov, Y., Hanel, R., & Thurner, S. (2012). Statistical detection of systematic election irregularities. Proceedings of the National Academy of Sciences, 109(41), 16469–16473. https://doi.org/10.1073/pnas.1210722109.
• Kobak, D., Shpilkin, S., & Pshenichnikov, M. S. (2016). Integer percentages as electoral falsification fingerprints. The Annals of Applied Statistics, 10(1). https://doi.org/10.1214/16-AOAS904.
• Kobak, D., Shpilkin, S., & Pshenichnikov, M. S. (2016). Statistical fingerprints of electoral fraud? Significance, 13(4), 20–23. https://doi.org/10.1111/j.1740-9713.2016.00936.x.
• Rozenas, A. (2017). Detecting election fraud from irregularities in vote-share distributions. Political Analysis, 25(1), 41–56. https://doi.org/10.1017/pan.2016.9.
• Jiménez, R., Hidalgo, M., & Klimek, P. (2017). Testing for voter rigging in small polling stations. Science Advances, 3(8), e1602363. https://doi.org/10.1126/sciadv.1602363.
• Шень, A. (2020). Выборы и статистика: казус «Единой России» (2009–2020). arXiv:1204.0307v4.